andante

1116'

そういえば昨日の話ですけど2=1^2+1^2のことを完全に忘れていましたね！とはいえ、4m+3は不可能なので、例外は2だけです。3以上の素数に限定すればよいでしょう（修正しました）。
ところで、2=(1+i)(1-i)について昨日と同じことを考えるとうまくゆきません。たとえば2*5=10は1^2+3^2以外の分解を持ちません。これはどうしてかというと、もう一方の素数をa^2+b^2としたときに最終的に出てくる分解が(a-b)^2+(a+b)^2とその逆になって縮退してしまうからです。これは困りました。他にもこんなケースがないか確かめなければ（そんなに興味ないのでやりませんけど）。ぱっと思いつくところだと、こんな風に(a+ai)(a-ai)の形が現れると同様の縮退が起こるけれども、a^2+a^2が素数になるのは2以外に存在しないので考えなくてもよい、というものですが、安心するのはまだ早いと思います。ac+bdとbc+adが一致する一般的状況について考えなくては。
（追記）(ac+bd)-(bc+ad)=(a-b)(c-d)だから心配なさそうですね。

ところで一般の自然数について平方の和で書く方法が何通りあるかはヤコビの二平方定理というもので与えられるようです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E3%81%AE%E4%BA%8C%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
でも証明が一ミリも読めない。なんだこれは。整数論の話じゃなかったのか。

今日も夕方まで寝ていました。アニメを観るのが滞っていますね。数学はちょっと進んでいるのだけども。

たとえば、計算機上で一つの世界をシミュレイトすることを考える。世界はメモリ上のデータの自己写像の繰り返しの適用として、一定の規則に従って進行する。

いま、この計算機をハンマーで破壊したとする。当然、メモリの中身は消えてしまうが、それで世界はなくなってしまうのだろうか？そうではない、とする主張がある。計算規則は最初から決まっていたし、計算結果は数字の並びでしかないのだから、計算機が実際に計算するまでもなく、世界は最初から最後までどこかに存在して、計算機はそれをただあとから順番に発見しているにすぎない、と考えることはできる。
もうすこし具体的には、たとえば、チャンパーノウン定数（ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%8E%E3%82%A6%E3%83%B3%E5%AE%9A%E6%95%B0 ）の小数点下N桁からM桁、という表現で、任意の数字の列を指定できるのだから、この計算機の中の世界はすべてこの定数の中に存在している、ということもできるだろう。
とするならば、計算機が壊されてしまったかどうか、そもそもそんな計算機があったかどうかなんて、些細な問題に過ぎない。

自分が死んだあとに、この世界が続いてゆく、と考えることは、それに似ていると思う。自分がやっているのは世界を認識することだけで、世界はそんなものとは関係なく「どこかに」存在している。その混沌の塊から秩序を掬い上げる主体としての自分は、もうどこにもないのに、それが「どこか」には存在していると信じること。
僕にはそれは、（同じ程度には）馬鹿げていると思う。

最近は、人生の長さにすこし期待するようになった。

学生だった頃は、来週はテストだから勉強しよう、みたいな日々の繰り返しで、勉強してすぐに結果が出る（点が取れるようになる）ことに慣れきっていたし、実際そうでなければ困る状況だったけれど、人生の時間スケールの中でならば、結果が出るのに何年も掛かってもぜんぜん構わないのだな、ということを最近は実感する。

というよりも、そういう時間スケールで成長することになれてゆかないといけないのだろう。たとえば僕はいま数学を勉強しつつあるけれど、これは本業ではないから割くことのできる時間は限られているし、そうでなくても、ただ知識を集めるだけではないような変化をするためには、比較的長い時間が掛かるだろう。それをするための時間は十分にあるのだということに慣れて、そういうゆっくりとした変化のためにすこしずつ前進するということを、これからはできるようにならなくてはならないのだろうと思う。

さてまた平日がやってきます。やだなー。あんまり元気ではないよ……

1115

ずっと寝てました。憂鬱です。

3以上の素数pが平方数の和で書けることの必要十分条件は、4m+1と書けること、なのだけど、平方数の和で書けるってことはa^2+b^2=(a+bi)(a-bi)と共軛なガウス整数の積で書けるということでもある。いま、4m+1と書ける素数を２つとってきて、その積を考えると、(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)=((ac-bd)+(bc+ad)i)((ac-bd)-(bc+ad)i)という風に共軛なガウス整数の積で書けるから、やはり平方数の和で書くことができる。
一方これは、項の拾いかたを変えることで(ac+bd)+(bc-ad)iとその共軛の積と書くこともできるから、4m+1と書ける素数の積は、平方数の和として二通りに書けることがわかる。
たとえば5=1^2+2^2と13=2^2+3^2の積65は4^2+7^2と1^2+8^2の二通りの表し方がある。ただし元の素数として同じもの２つを取ってきた場合は両者は同じものになる、たとえば5^2=25は3^2+4^2の一つしかない。

２つの積だけでなく３つ以上の積についても同じような議論ができて、平方数の和への分解の個数（の下限）は順列組み合わせで定まるものと思うが計算していない。帰納的に考えると2^(N-1)通りだろうか。ってことは5*13*17=1105は四通りの分解があることになる。
Wolfram alphaに投げるとそうらしいと教えてくれた。(4, 33), (9, 32), (12, 31), (23, 24)。これ以外の解を持たないかどうかはべつに考える必要があるだろう。どうでもいいけれど、これは円の方程式の整数点を求める話になるのですね。なるほどね。

三辺の長さが整数の直角三角形の面積は平方数にならないことを証明するために、それと同値な、y^2=x^3-xは(0, 0)と(±1, 0)以外に有理数解を持たないことの証明を読んでいますが、なんでこんなの思いつくのだろう、フェルマーは偉いなあ、という感じです。

1114

昨晩は体力を回復するために早く帰ってきたのですが、名古屋の狂える会社員fから電話が掛かってきて、だらだらしゃべっているうちに普段と変わらない時間になってしまいました。アホか。

自分の昔の日記を読むのは楽しいから日記をつけるといいよ、という話をしました。僕は余裕で一日潰せる。ただ週末なにしてた？って訊かれたときに自分の日記を読んでましたって答えるのはあまりスコアが高くない感じはある。

お昼から仕事。地獄のようなロジックを考えなければいけなかったのだけど、頭がぜんぜん回らなくて難儀しました。うーん、仕事中に眠くなるの、去年の今ぐらいもそうだったけどしばらく良くなってたから改善したのだと思っていたのだけど、このくらいの寒さになると再発するのかもしれない。どうしたものか。

「臨機応変に対応せよ」という指示には何の意味もない。人間は常に臨機応変に行動しているし、臨機応変に行動しないということはできないのだから。
指示というのは、行動決定の基準となるものでなければならない。たとえば、おいしい料理とまずい料理があれば、誰だっておいしい料理を選ぶだろう。それはスコアが簡単に計算できるからだ。しかし実際の決断はそんな風には扱えない。「おいしいけど健康に悪い料理」と「まずいけど健康によい料理」の二択に出会ったときにどう振る舞うか。「健康のためなら味は犠牲にしてもよい」（あるいはその逆）と教える指示でなければ、なんの意味もないのだ。

そういう基準を与えない指示は、上を指差して「あっちが上です」と言っているようなものだ。なにが「良い」ことか、なんて誰でもわかっている。多くの人が、迷い、あるいは対立するのは、「そのためになにを犠牲にしてもよいか」の判断であって、そこにはっきりとした基準を与えなければ、なにも言っていないのと同じことである。

疲れたにゃん……

1113

お昼から仕事。元気が出ません。夕方にとても眠くなるのは気候のせいなんじゃないかという気がしてきました。冬に向いてない人間なのかもしれない。つらい。

数論の教科書を読み始めました。でもこの本油断してるといきなり「Ｋを標数が２でない可換体とする」とか言いだして、そのくらいならわかるけどこの先が心配。まあ代数の教科書一冊あったはずだし、わからなくなったら先にそっちを勉強すればよいのだ。人生は長い。

1112

お昼から仕事。あいかわらずデザインもフローも上がってこないので不具合の修正に終始しました。うーん、モチベイション下がるよね。具合も悪いし。

あと勉強会の準備のためにSwiftの本を読みました。勉強会、方向性としてはOptionalに的を絞ってその絡みで関数プログラミングの話とかするのがいいのかもしれない。OptionalやArrayはFunctorで～、しかもApplicative Functorで～、ついでにMonadでもあるんです～、みたいな。でもApplicative Functorのありがたみがよくわからないのよね。文脈付きの関数とかってそんなにあるかしら。Monadでよくない？
Optionalを真似て、型TとNSErrorを持つFailable<T>という型を例示に使うといいかなと思いました。で、Monadっぽくbindしたりとか。あるいはPromiseをMonadとして扱ってみせるのもいい（時間が足りるかわからないけれど）。

昨夜は層・圏・トポスの圏の章をやっと読みおわったのだけど、あの本はアレなので他の本のほうがいいよ、というコメントをもらったので中断しています。アレって具体的になんなのかよくわからないけれど。まあ、僕としたところで別にトポスの勉強がしたかったわけではなくて五年来の積読を崩したかったというだけではあるので、別にここで止めてしまってもいいのだけど。それよか数論の本を読もうかな。

1111

happy birthday az-nian

お昼から仕事。非常に具合が悪いし気分もノらない。フローの変更のためのWebAPIの変更に対応したけど、そこで手詰まり。デザインとコンテンツの詳細を決めてくれないと手の出しようがないです。

あとSwift勉強会の準備をすこししました。Swift勉強会、そろそろ社内でも普通に使ってるし、いまさら普通に入門やってもつまらないので悩ましいです。Swiftの新機能でSwiftらしさを出してみる感じかなあ。enumとか。あともともとはOptionalの話をしたかったのよね。あれはいい子だから。

髪が乾いたら寝よう。それまでは数学。そういえば圏の章は終わらなかったです。前層の圏を層に限定するところがよくわからなかった。

人間の能力には加算できるものとできないものがあって、たとえば普通にいう頭の良さってのは（どちらかというと）加算できない能力なので、人数が増えてもその分だけ高まるということはない。一方で、なにかに気づいたり手を動かしたりみたいな能力は単純に脳と手と眼の個数にほぼ線型に増加するので、前者の効率ばかりを重視して人数を絞ってしまうと、後者のリソースが必要な場面でしんどくなるのだなあ、ということを最近思っています。ただ後者を重視しすぎて巻き込む人数が増えすぎてしまうとなにかと効率が落ちるわけで、そのあたりの構造をうまく調節する必要があるのよね、たぶん。

1110'

「オッカムとハンロン、対の剃刀が必要なんだ……なのにここには同じ剃刀が二枚あるだけ……」

会社にテレビ局の取材が来ました。会議風景を撮るだけだと思っていたらわりとインタビューされたので心配です。たぶん使われないのだと思うのですが。
自分の顔がテレビで流れるとか、今の時代はとりあえず全部録画してる人とかもいるし、どこでどう使われるかわからないので嫌ですね。あと単純に自分の容姿にコンプレックスがあるのも大きいですけど。
自分と紐付いていて容易に変えられないもの、名前と顔は、きちんと管理しなければと思います。期待値で扱ってはいけないリスクがそこにあるのだ。

それはそうと、インタビューアというのはずいぶんと不快な物言いをするものだなと思いましたが、あれが不快に思える僕のほうが狂っているのかもしれない。世界はどこまで行っても世界でしかない。

具合が微妙なので早く寝なくてはと毎晩言っているけれど別段早く寝ている様子もないし具合も良くなりません。最近ちょっとだけ野菜を食べるようになったのだけど、そんなくらいで見逃してくれるほど健康ってのは甘くないらしい。

直積をとる関手と冪対象をつくる関手とが随伴になっていること、随伴概念の手頃な例と思ってよいのだろうか、よくわからないけれど。それよか随伴が極限を保つからいろんな概念を極限として定義しておくと便利ってのは楽しかった。へえ。
圏の章は今夜くらいで終わらせたいけどなんだかんだ手間取って無理かも。その次はトポスの章です。どうでもいいが北千住にトポスというディスカウントストアがあるらしい。どうでもいいが。

追記：そういえば「モナドは単なる自己関手の圏におけるモノイド対象だよ。何か問題でも？」の意味がやっと三割くらいわかったのですが（すくなくともモナドの定義がそういうものだってことはわかった）、なんでHaskellでモナドが偉そうな顔をしているのかとか、モナドの他の使い途とか、あとライプニッツのモナドとの関連とかはまだわかりません。というか、ライプニッツのモナドを借用したのって普通に批判されるべきなのではという気がちょっとするのですが、それは誤解かもしれません。wikipediaをちらっと見るとなんか偉い概念っぽいし。あとライプニッツのモナドのことも別に知らないし。