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ずっと寝てました。憂鬱です。
3以上の素数pが平方数の和で書けることの必要十分条件は、4m+1と書けること、なのだけど、平方数の和で書けるってことはa^2+b^2=(a+bi)(a-bi)と共軛なガウス整数の積で書けるということでもある。いま、4m+1と書ける素数を２つとってきて、その積を考えると、(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)=((ac-bd)+(bc+ad)i)((ac-bd)-(bc+ad)i)という風に共軛なガウス整数の積で書けるから、やはり平方数の和で書くことができる。
一方これは、項の拾いかたを変えることで(ac+bd)+(bc-ad)iとその共軛の積と書くこともできるから、4m+1と書ける素数の積は、平方数の和として二通りに書けることがわかる。
たとえば5=1^2+2^2と13=2^2+3^2の積65は4^2+7^2と1^2+8^2の二通りの表し方がある。ただし元の素数として同じもの２つを取ってきた場合は両者は同じものになる、たとえば5^2=25は3^2+4^2の一つしかない。
２つの積だけでなく３つ以上の積についても同じような議論ができて、平方数の和への分解の個数（の下限）は順列組み合わせで定まるものと思うが計算していない。帰納的に考えると2^(N-1)通りだろうか。ってことは5*13*17=1105は四通りの分解があることになる。
Wolfram alphaに投げるとそうらしいと教えてくれた。(4, 33), (9, 32), (12, 31), (23, 24)。これ以外の解を持たないかどうかはべつに考える必要があるだろう。どうでもいいけれど、これは円の方程式の整数点を求める話になるのですね。なるほどね。
三辺の長さが整数の直角三角形の面積は平方数にならないことを証明するために、それと同値な、y^2=x^3-xは(0, 0)と(±1, 0)以外に有理数解を持たないことの証明を読んでいますが、なんでこんなの思いつくのだろう、フェルマーは偉いなあ、という感じです。