andante

お昼から仕事。会社の人は大掃除をしていましたが僕の属するプロジェクトの人だけ会議室でコードを書いていました。まだAutoLayoutを完全に支配したとは言い難い。

その後は仕事が納まっていないにもかかわらず忘年会で酒を飲みました。体調が懸念されたけどとりあえず大丈夫でした。でも明日も仕事だ。はー。

昨夜書かなかったことをすこし書きましょう。まずL関数の公式は次で与えられます。
\[
L(r, \chi)=\frac{1}{(r-1)!}\cdot{\left(-\frac{2\pi i}{N}\right)}^r\cdot\frac{1}{2}\sum_{a\in{(\Z/N\Z)}^\times}\chi(a)h_r({\zeta_N}^a)
\]
ここで$r$は自然数、$N$は2以上の自然数、$\zeta_N=e^{2\pi i/N}$、$\chi$は$\bmod N$のディリクレ指標で、$\chi(-1)={(-1)}^r$をみたすものとします。$h_r$は有理関数で、
\[
\begin{align}
h_1(t)&=\frac{1+t}{2(1-t)} \\
h_r(t)&={\left(t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)}^{r-1}h_1(t)
\end{align}
\]
で与えられます。

L関数の公式の証明には、$h_r$が
\[
h_r(t)=(r-1)!\cdot{\left(-\frac{1}{2\pi i}\right)}^r\sum_{n\in\Z}\frac{1}{{(x+n)}^r}
\]
と書けることが（そしてこれはsinの積公式に由来する）用いられるのですが、このとき$h_r$に現れる無限和の$n\lt 0$の部分を「折り返して」$n\gt 0$に持って行く（最終的な$L(r, \chi)$の定義は$n\ge 1$の和なのでそうする必要がある）操作が、$\chi(-1)={(-1)}^r$でなければ（$\chi$は準同型なので$\chi(-1)$は$\pm 1$しかとれない）もともとの$n\gt 0$部分と打ち消しあって0になってしまうために、この制限が要求されます。
この制限があると、たとえば$\bmod 2$の自明な指標$\chi: \{1\} \longrightarrow \C^\times$に対しては、$\chi(-1)=\chi(1)=1$であることから$r$が偶数の場合にしか適用できないことがわかります。そして、まさにこの$\chi$によって$\zeta(r)$は$L(r, \chi)$と接続されるので、奇数の$r$についてはこの方法で$\zeta(r)$を求めることはできません。

では$\chi(-1)=-{(-1)}^r$だった場合（すなわち打ち消し合ってしまった場合）にはどうなるか。この場合、得られる関係式は
\[
\sum_{a\in{(\Z/N\Z)}^\times}\chi(a)h_r({\zeta_N}^a)=0
\]
というものになります。簡単な例では、
\[
\begin{align}
\chi(1)h_1(-1)&=\frac{1-1}{2(1+1)} \\
&=0 \text{ただし$\chi$は$\bmod 2$の自明な指標} \\
\xi(1)h_1(i)+\xi(3)h_1(-i)&=\frac{1+i}{2(1-i)}+\frac{1-i}{2(1+i)} \\
&=0 \text{ただし$\xi$は$\bmod 4$の指標で$\xi(1)=\xi(3)=1$}
\end{align}
\]
となります。

なにやら非自明な関係式が得られたような気がしましたが、実際は別にそんなことはない（すくなくとも$r=1$の場合はそうで、一般の$r$については技術不足で示していない。ちゃんと微分すれば出そう）。
まず$N=2$の場合、つまり$\chi$が$\bmod 2$の自明な指標だった場合。これは$r$が奇数の場合に条件をみたさないのだが、明らかに$h_1(-1)=0$となるし、$h_3(-1)$も0になる。その先は確かめていない。
次に$N\gt 2$の場合。この場合は$a\in{(\Z/N\Z)}^\times$にわたって和をとることになるが、この項の数は偶数個となる（例外は$N=2$の場合で1のみとなる）。この個数はすなわち$N$と互いに素な数の個数だが、それはオイラーのトーティエント関数で与えられ、容易に計算でき、1以外の奇数になることはあり得ないことが示せる。
とするならば、すべての$a\in{(\Z/N\Z)}^\times$に対して対応する$(N-a)=-a\in{(\Z/N\Z)}^\times$が存在することが言える。これらの一方だけが$N$と互いに素でないという状況は起こり得ない。また$a$は偶数個あるので重複することもない。$a$についての和は２つずつの組$\chi(a)h_r({\zeta_N}^a)+\chi(-a)h_r({\zeta_N}^{-a})$の和にすることができる。$\chi(-a)=\chi(-1)\chi(a)$だから、結局これは$\chi(a)\left(h_r({\zeta_N}^a)-{(-1)}^rh_r({\zeta_N}^{-a})\right)$の和ということでもある。
最後に、$h_r(t)$と$h_r(t^{-1})$との関係を調べる。$h_1$については明らかに$h_1(t)=-h_1(t^{-1})$、$h_2$については$h_2(t)=h_2(t^{-1})$であり、一般の$h_r$についても$h_r(t)={(-1)}^rh_r(t^{-1})$であると予想されるがこれも証明はしていない。ともかくこれを仮定すれば、先の組は$\chi(a)\left(h_r({\zeta_N}^a)-{(-1)}^r{(-1)}^rh_r({\zeta_N}^a)\right)$となって打ち消しあって0となる。

こうして同じところに２通りの経路で至ったわけだが、結局ずっと同じ話をしていただけのような気もするし、途中で口調も変わってしまったし、これはなんだったのだろう。ともあれ、こうした計算を進めるのは数学をしている気分が高まって楽しい。

ツイキ：そういえばblogをまたリニューアルしたいなと思いました。mroonga対応もしたいし、カレンダーが縦に長くなりすぎたなという気もするし、それから私的注釈機能もつけたい。次作る時は（技術blogでそうしたように）composerでORMとか入れていい感じにしたい。テンプレートエンジンは使えないけど……（インデントをきちんとしたい）

メリィ・クリスマス！

お昼から仕事。具合は最悪。不具合対応をちまちま。UITableViewのtableFooterViewにビューを設定したときにちゃんとlayoutSubviewsしないと場所がおかしくなってしまうことに気づかず二時間くらい無駄にしました。そのうち一時間くらいはSwiftのコンパイルをしていましたが。うーん、デバッグっていかに高速で試行錯誤を重ねられるかに懸かってると思うんだけど、そういう場面でSwiftはかなり厳しいです。LLDBで変数見るのもなんか遅いし。

明日はアプリ全体にエラー画面を設置することになりそうです。まあ、後回しにしちゃう気持ちはわかるよ、わかるんだけども……。

そういえば昨夜はL関数の公式を示していくつかの$\zeta(s)$が求まりました。たぶん、こいつは$\sin$の無限積の公式
\[
\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod^\infty_{n=1}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)
\]
によって無限項を一つに束ねることができるところから出てきているわけで、そう考えるとそこまで不思議な感じでもないのかな、と思いました。

ところで、ここから求められる$\zeta(r)$は$r$が偶数の場合に限られるのですが、その理由は元のL関数$L(r, \chi)$の公式に$\chi(-1)={(-1)}^r$という制約条件があるからで（$L(r, \chi)$から$\zeta(r)$を導くのに使う$\bmod 2$の自明な指標を考えたとき、$\chi(-1)=\chi(1)=1$となるので、$r$が偶数でなければみたされない）、じゃあそれが破られたらどうなるの、ということをすこし考えました。
$\chi$は群準同型だから$\chi(-1)$は$\pm 1$しかとれないので、具体的には$\chi(-1)=-{(-1)}^r$ということになります。この場合、L関数の公式を導く過程でいろいろなものが打ち消し合うので、最終的にL関数が出てくるべきところが0になるようなので、これはこれで非自明な関係式になるのかな、と思ったのだけど、よくよく考えるともっと簡単に導ける関係式だったことがわかりました。詳しいことをちゃんと書きとめておきたいけど、今夜は時間がないので書きません。

こういうことを考えると、なんか数学をしているなあ、という気分になって楽しい。

さて、さっき帰ってきたところなのですがもう寝ます。お風呂は明日の朝。すこしでも体調がよくなっているといいのだけど。明日は会社の忘年会だそうですが、僕は参加できるのでしょうか（体調面でも、仕事の進捗面でも）。

昨晩はディリクレのL関数の公式が与えられて、いくつかの無限級数の値が計算されました。でも証明はまだです。途中まではできているようなので今夜できるでしょうか。何が起こっているのかいまいちつかめないのですけれども（特にディリクレ指標のあたりが）。

お昼から仕事。具合がとても悪いです。でも具合が悪いのなんていつものことだし、いつもより具合が悪いような気はするんだけど、具合の悪さはいつも真新しくて、古びるということがない。「今日もいつもと同じぐらい具合が悪いな」と思うことはない。「今日もいつもより具合が悪いな」と思うことなら（この命題が矛盾しているにもかかわらず）あるように思う。
そんな分析をほどこしたって、具合が悪いことにかわりはないのだけれど。

仕事は微妙です。まあまあがんばってまあまあ進んだけど、率直に言ってかなり根本的に破綻しているように思えるので、本当に辻褄が合うのか自信が持てません。そして作業量的にも無理がある。厳しい。

さてクリスマスです。僕の人生でクリスマスが特別な日だったことなどそう多くはないのだけど、それにしても否応なく寂しさを感じますね。空から女の子が降りてきて、僕の頭を撫でてくれるとよい。（そして僕に頭を撫でさせてくれるとなおよい。）サンタクロース！僕を！助けてくれ！

へぇ〜、ウィトゲンシュタインも、僕と同じで「ある夜床につき、そのまま目覚めないのが、たぶんもっともよいことかもしれません。」って思ってたんだ〜

数学の勉強は$\zeta$の章に入りました。あとディリクレのL関数。$\zeta$はいろいろな仕方で数論に現れるらしいけど、そのことはこの教科書の続編で扱われるようなので、いまはまだこれがなんの話なのかよくわかりません。

夕方に起きて仕事をしました。うーん、破局の予感しかしない厳しいコードだけれど……僕ならどうしただろうか……

具合はいまいちよくないです。部屋が寒いのがよくないのかもしれない（エアコンつけてるんだけどな）。

明日はまた仕事です。明日明後日で全部終わらせないといけないわけですが（金曜日は大掃除と忘年会です）、はたして。

昨晩はblogにMathJaxを設置しました。レイアウトとかもいい感じにして（\text{}のフォントを地の文にそろえたのと、\text{}前後および\$～\$の前後に四分アキ\u2005を入れたのがこだわりポイント）、嬉しくなって最近の記事の数式を書き直した。いい感じです。ただiPhoneで見るとちょっとだけ微妙（インライン数式のベースライン？がそろってないのと、ディスプレイ数式がはみ出すのと）。それと、僕の環境はSTIXフォントとか入ってるから高速だけど、余所はWebフォントダウンロードだからちょっと時間かかるかもしれない。まあいいか。

入れたはいいけど別にそんなに頻繁に使うこともないでしょう。少なくともここでは。でもいい設定が見つけられたから、将来別のところで使うことはあるかもしれません。

お昼から仕事。具合はあいかわらずよくないです。今週は大詰めなので小粒な不具合対応が押し寄せてくる感じ。動けばいいってもんじゃないけれど……

さて、明日は休みだそうです。一日くらい休んだって僕の健康は戻ってこないけれどね。

そういえばそろそろ冬至ってやつじゃないですかね。

昨夜は$\ord_3(4^n-1)$が$1+\ord_3(n)$となることを示しました。この証明は$\Q_3$の構造がうまく使われた証明だった感じがします（うまく言えませんが）。

夕方まで寝ていました。そういえば、土曜日に会社にゆくとなにもしてないのに土日が半分消し飛ぶんですね（理解するのに引き算しか必要ない）。明日からまた仕事です。はー。

今夜はこのblogにmathjaxを導入しようと思います（過去に\$も\もほとんど書いてなくて簡単にできそうなので）。そういえばmroonga対応もそのうちやりたいなーと思ってやっていません。そのうちやりたい。

$\Q_2$では0に、$\Q_3$では1に収束する有理数列の例を挙げよ、という演習問題があって、えーそしたら$\ord_2(x_n)$と$\ord_3(x_n-1)$がともに無限大に発散するってことじゃーんと思って、なんかガリガリ計算したらそうなる数列を構成できたのだけど、これ絶対違うよなーと思って答え見たら$2^n/(2^n+3^n)$でいいらしくってアウーとなった。というかなんで最初にここに来なかったんだ。-1したら$3^n$が出てくるのは明らかじゃないか。

ちなみに僕が構成した数列は、
\[
\begin{align}
a_1&=1,\ b_1=2 \\
a_{n+1}&={(2^{2b_n-1}{a_n}^2-1)}^2{a_n}^4 \\
b_{n+1}&=4b_n+2
\end{align}
\]
に対し$x_n=2^{b_n}a_n$で与えられます。$x_1=4=2^2=3^1+1$, $x_2=50176=2^{10}\times 49=3^2\times 5575+1$。次はだいぶ大きくなってしまって、
\[
\begin{align}
x_3&=40176147763219283480744718699253989376 \\
&=2^{42}\times 9134998382073555030898369 \\
&=3^4\times 496001824237275104700552082706839375+1
\end{align}
\]
です。この先は計算してません。この数列は$\ord_2(x_n)$が$O(4^n)$、$\ord_3(x_n-1)$が$O(2^n)$で下からおさえられます（こういうときはΩで書くべきなのかな？と思ったけどwikipediaによるとこの記法は分野によって解釈が違うようだ）。なので$\Q_2$で0に、$\Q_3$で1に収束。はあ。

土曜日だけどお昼から仕事。一画面まるっと作りました。これに八時間は掛かりすぎのような気はします。UILabelではAttributedStringの両端揃えが機能しないらしくって難儀しました（UITextViewなら動いた）。あとStoryboardでUITextViewのtextContainerInsetを設定する方法とか（これは応用範囲が広そう）。そのうちblogに書こうか。

そういえばサイコパス２の最終回を観ました。うーん、１のときほどの高揚感ないなあ。

さて、仕事が終わって帰ってくるといつも動き始めるくらいの時間になっていたのだけど、じゃあいつもはなにをしているかというとずっと寝ているわけで、僕は睡眠が足りていないのではないか。火曜日休みだし、まあいいか。

そういえば新幹線の切符をとりました。年内のはいいのだけど年明けのがぜんぜん取れなくて焦りました。いやはや。おい、来年の僕よ、12/20では正月の切符は取れんぞ。こだまって東京大阪に四時間もかかるんですね。まあ寝てればいいか……

昨晩はついに二次曲線の有理数解がヒルベルト記号と関係していることが証明された。でもこの話にp進数体ってべつに関係なかった気がする（証明に出てこなかったし）。うーん、そうじゃなくて、ヒルベルト記号とかは実はどうでもよく、（それと同値な）p進数体での解の有無が有理数解の有無に繋がっている、という話のほうが本題なのかな。でもいまのところp進数体がなにか便利な性質を持っていたり別のものを連れてきたりする様子はない。先へ進めばあるだろうか。

お昼から仕事。調子はまあまあ。しかしスケジュールはどうなっているのかよく知らない。休日出勤を要請される程度には危ういのだろう。
CoreDataを使いたくないなーと思っていたけど状態監視が必要になるっぽかったのでやっぱり使うことにして、さらばと昨日書いたコードをCoreData対応に書き直す作業をしています。うーん、失敗であった。

さて、明日も仕事なので夜更かししすぎないようにしなくては。そういえば帰省の日程が決まりつつあるので新幹線の切符をとらなくては。

h.b. > 母.

昨晩はよく眠れませんでした。八時半くらいに目が覚めてしまってそこから結局ほとんど起きていた気がする。嫌いな人間のことを考えすぎて眠れなくなるタイプの眠れなさ、今年に入ってから修得したもので非常によろしくない。

体調は悪いなりに落ちついていたので仕事はまあまあでした。とりあえず今日の予定はなんとか終わらせられた。でもチーム全体のスケジュールはまだまだ厳しいようで、土曜日も会社に行くことになりました。まあ来週は火曜日にも休みがあるし、なんとかなるじゃろ。それより代わりに冬休み延ばしてもらえるかなあ。

生きるのが嫌です。今いる環境にもいろいろな不満があるし、だけどそれを変えるためになにもできずにいる自分にも不満がある。ほんとうに。僕はときどきこんなことを思う：僕は本当はもっとずっと優秀な人間で、だけどもコミュニケイション能力の欠如、あるいは自信がないゆえに適切な環境へ移ることができず、こんな気分で日々を過ごしているのだと。そんなのは嘘だと知っている。わかっている。僕が生きてゆくことのできる環境は極めて限定されていて、それが用意されているだけでも幸運なのだとも思っている。でも、僕はときどきそんな風に思って自分を憐れんでみたりするし、たぶんこれからもずっと、頭では何度も何度も否定しながらもそれに縋りながら生きてゆくのだろうと思う。そんなのは嫌だ。嫌なんだよ。

自分のつらい心境をどうすれば改善できるのか、そもそもそれは可能なのか、そういったことがもうわからなくなってしまって、ただただ途方に暮れたまま沈んでゆく自分を呆然と見送る。

日記を書くのがとみに遅れているのは先にご飯食べたりシャワー浴びたりしていたからです。そういえばシャワーを浴びようとしたら留守中に洗濯機が例外を吐いて停止したらしくバスタオルが乾いていなかったので難儀しました。バスタオルは替えがあったので向こう見ずにもシャワーを浴びたのですが、出てきたらパジャマがなかった。替えのパジャマも見つけ出したのだけどズボンのゴムがダルダルダルになってしまっていて歩けない。困った。いや、まあ今夜もう歩く用事なんてないんだけど。

お昼から仕事。具合の悪さは甘めに見積もって横ばいといった印象。厳しい。チームの同僚も長らく体調不良に悩んでいるらしく不健康な親近感を抱きます。
仕事はあまり順調とは言えず。でもなんとかねじ伏せたし、明日今日ぐらいの活躍ができればとりあえずの目標まではなんとかなるんじゃないかな、これ。「明日は明日の風邪を引く」いい言葉です。

髪が乾くまで数学をします。あとマンガも読むよ。

最近中年男性について考える時間が多いです。こないだひょんなことから中年男性の集団が気怠そうに挨拶をしている動画を見たのですがほんとうに厳しい気分になり三十までに死にたいという思いの高まりを感じました。気怠そうな中年男性。の集団。

会社の人が同僚を面と向かって中傷して笑いを取っているのですが、率直に言ってそういう種類のコミュニケイション（とも言えないできごと）が本当に嫌いなので本当に不快です。厳しい。