そういえばそろそろ冬至ってやつじゃないですかね。
昨夜は$\ord_3(4^n-1)$が$1+\ord_3(n)$となることを示しました。この証明は$\Q_3$の構造がうまく使われた証明だった感じがします（うまく言えませんが）。
夕方まで寝ていました。そういえば、土曜日に会社にゆくとなにもしてないのに土日が半分消し飛ぶんですね（理解するのに引き算しか必要ない）。明日からまた仕事です。はー。
今夜はこのblogにmathjaxを導入しようと思います（過去に\$も\もほとんど書いてなくて簡単にできそうなので）。そういえばmroonga対応もそのうちやりたいなーと思ってやっていません。そのうちやりたい。
昨晩はblogにMathJaxを設置しました。レイアウトとかもいい感じにして（\text{}のフォントを地の文にそろえたのと、\text{}前後および\$～\$の前後に四分アキ\u2005を入れたのがこだわりポイント）、嬉しくなって最近の記事の数式を書き直した。いい感じです。ただiPhoneで見るとちょっとだけ微妙（インライン数式のベースライン？がそろってないのと、ディスプレイ数式がはみ出すのと）。それと、僕の環境はSTIXフォントとか入ってるから高速だけど、余所はWebフォントダウンロードだからちょっと時間かかるかもしれない。まあいいか。
入れたはいいけど別にそんなに頻繁に使うこともないでしょう。少なくともここでは。でもいい設定が見つけられたから、将来別のところで使うことはあるかもしれません。
お昼から仕事。具合はあいかわらずよくないです。今週は大詰めなので小粒な不具合対応が押し寄せてくる感じ。動けばいいってもんじゃないけれど……
さて、明日は休みだそうです。一日くらい休んだって僕の健康は戻ってこないけれどね。
へぇ〜、ウィトゲンシュタインも、僕と同じで「ある夜床につき、そのまま目覚めないのが、たぶんもっともよいことかもしれません。」って思ってたんだ〜
数学の勉強は$\zeta$の章に入りました。あとディリクレのL関数。$\zeta$はいろいろな仕方で数論に現れるらしいけど、そのことはこの教科書の続編で扱われるようなので、いまはまだこれがなんの話なのかよくわかりません。
夕方に起きて仕事をしました。うーん、破局の予感しかしない厳しいコードだけれど……僕ならどうしただろうか……
具合はいまいちよくないです。部屋が寒いのがよくないのかもしれない（エアコンつけてるんだけどな）。
明日はまた仕事です。明日明後日で全部終わらせないといけないわけですが（金曜日は大掃除と忘年会です）、はたして。
昨晩はディリクレのL関数の公式が与えられて、いくつかの無限級数の値が計算されました。でも証明はまだです。途中まではできているようなので今夜できるでしょうか。何が起こっているのかいまいちつかめないのですけれども（特にディリクレ指標のあたりが）。
お昼から仕事。具合がとても悪いです。でも具合が悪いのなんていつものことだし、いつもより具合が悪いような気はするんだけど、具合の悪さはいつも真新しくて、古びるということがない。「今日もいつもと同じぐらい具合が悪いな」と思うことはない。「今日もいつもより具合が悪いな」と思うことなら（この命題が矛盾しているにもかかわらず）あるように思う。
そんな分析をほどこしたって、具合が悪いことにかわりはないのだけれど。
仕事は微妙です。まあまあがんばってまあまあ進んだけど、率直に言ってかなり根本的に破綻しているように思えるので、本当に辻褄が合うのか自信が持てません。そして作業量的にも無理がある。厳しい。
さてクリスマスです。僕の人生でクリスマスが特別な日だったことなどそう多くはないのだけど、それにしても否応なく寂しさを感じますね。空から女の子が降りてきて、僕の頭を撫でてくれるとよい。（そして僕に頭を撫でさせてくれるとなおよい。）サンタクロース！僕を！助けてくれ！
メリィ・クリスマス！
お昼から仕事。具合は最悪。不具合対応をちまちま。UITableViewのtableFooterViewにビューを設定したときにちゃんとlayoutSubviewsしないと場所がおかしくなってしまうことに気づかず二時間くらい無駄にしました。そのうち一時間くらいはSwiftのコンパイルをしていましたが。うーん、デバッグっていかに高速で試行錯誤を重ねられるかに懸かってると思うんだけど、そういう場面でSwiftはかなり厳しいです。LLDBで変数見るのもなんか遅いし。
明日はアプリ全体にエラー画面を設置することになりそうです。まあ、後回しにしちゃう気持ちはわかるよ、わかるんだけども……。
そういえば昨夜はL関数の公式を示していくつかの$\zeta(s)$が求まりました。たぶん、こいつは$\sin$の無限積の公式
\[
\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod^\infty_{n=1}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)
\]
によって無限項を一つに束ねることができるところから出てきているわけで、そう考えるとそこまで不思議な感じでもないのかな、と思いました。
ところで、ここから求められる$\zeta(r)$は$r$が偶数の場合に限られるのですが、その理由は元のL関数$L(r, \chi)$の公式に$\chi(-1)={(-1)}^r$という制約条件があるからで（$L(r, \chi)$から$\zeta(r)$を導くのに使う$\bmod 2$の自明な指標を考えたとき、$\chi(-1)=\chi(1)=1$となるので、$r$が偶数でなければみたされない）、じゃあそれが破られたらどうなるの、ということをすこし考えました。
$\chi$は群準同型だから$\chi(-1)$は$\pm 1$しかとれないので、具体的には$\chi(-1)=-{(-1)}^r$ということになります。この場合、L関数の公式を導く過程でいろいろなものが打ち消し合うので、最終的にL関数が出てくるべきところが0になるようなので、これはこれで非自明な関係式になるのかな、と思ったのだけど、よくよく考えるともっと簡単に導ける関係式だったことがわかりました。詳しいことをちゃんと書きとめておきたいけど、今夜は時間がないので書きません。
こういうことを考えると、なんか数学をしているなあ、という気分になって楽しい。
さて、さっき帰ってきたところなのですがもう寝ます。お風呂は明日の朝。すこしでも体調がよくなっているといいのだけど。明日は会社の忘年会だそうですが、僕は参加できるのでしょうか（体調面でも、仕事の進捗面でも）。
お昼から仕事。会社の人は大掃除をしていましたが僕の属するプロジェクトの人だけ会議室でコードを書いていました。まだAutoLayoutを完全に支配したとは言い難い。
その後は仕事が納まっていないにもかかわらず忘年会で酒を飲みました。体調が懸念されたけどとりあえず大丈夫でした。でも明日も仕事だ。はー。
昨夜書かなかったことをすこし書きましょう。まずL関数の公式は次で与えられます。
\[
L(r, \chi)=\frac{1}{(r-1)!}\cdot{\left(-\frac{2\pi i}{N}\right)}^r\cdot\frac{1}{2}\sum_{a\in{(\Z/N\Z)}^\times}\chi(a)h_r({\zeta_N}^a)
\]
ここで$r$は自然数、$N$は2以上の自然数、$\zeta_N=e^{2\pi i/N}$、$\chi$は$\bmod N$のディリクレ指標で、$\chi(-1)={(-1)}^r$をみたすものとします。$h_r$は有理関数で、
\[
\begin{align}
h_1(t)&=\frac{1+t}{2(1-t)} \\
h_r(t)&={\left(t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)}^{r-1}h_1(t)
\end{align}
\]
で与えられます。
L関数の公式の証明には、$h_r$が
\[
h_r(t)=(r-1)!\cdot{\left(-\frac{1}{2\pi i}\right)}^r\sum_{n\in\Z}\frac{1}{{(x+n)}^r}
\]
と書けることが（そしてこれはsinの積公式に由来する）用いられるのですが、このとき$h_r$に現れる無限和の$n\lt 0$の部分を「折り返して」$n\gt 0$に持って行く（最終的な$L(r, \chi)$の定義は$n\ge 1$の和なのでそうする必要がある）操作が、$\chi(-1)={(-1)}^r$でなければ（$\chi$は準同型なので$\chi(-1)$は$\pm 1$しかとれない）もともとの$n\gt 0$部分と打ち消しあって0になってしまうために、この制限が要求されます。
この制限があると、たとえば$\bmod 2$の自明な指標$\chi: \{1\} \longrightarrow \C^\times$に対しては、$\chi(-1)=\chi(1)=1$であることから$r$が偶数の場合にしか適用できないことがわかります。そして、まさにこの$\chi$によって$\zeta(r)$は$L(r, \chi)$と接続されるので、奇数の$r$についてはこの方法で$\zeta(r)$を求めることはできません。
では$\chi(-1)=-{(-1)}^r$だった場合（すなわち打ち消し合ってしまった場合）にはどうなるか。この場合、得られる関係式は
\[
\sum_{a\in{(\Z/N\Z)}^\times}\chi(a)h_r({\zeta_N}^a)=0
\]
というものになります。簡単な例では、
\[
\begin{align}
\chi(1)h_1(-1)&=\frac{1-1}{2(1+1)} \\
&=0 \text{ただし$\chi$は$\bmod 2$の自明な指標} \\
\xi(1)h_1(i)+\xi(3)h_1(-i)&=\frac{1+i}{2(1-i)}+\frac{1-i}{2(1+i)} \\
&=0 \text{ただし$\xi$は$\bmod 4$の指標で$\xi(1)=\xi(3)=1$}
\end{align}
\]
となります。
なにやら非自明な関係式が得られたような気がしましたが、実際は別にそんなことはない（すくなくとも$r=1$の場合はそうで、一般の$r$については技術不足で示していない。ちゃんと微分すれば出そう）。
まず$N=2$の場合、つまり$\chi$が$\bmod 2$の自明な指標だった場合。これは$r$が奇数の場合に条件をみたさないのだが、明らかに$h_1(-1)=0$となるし、$h_3(-1)$も0になる。その先は確かめていない。
次に$N\gt 2$の場合。この場合は$a\in{(\Z/N\Z)}^\times$にわたって和をとることになるが、この項の数は偶数個となる（例外は$N=2$の場合で1のみとなる）。この個数はすなわち$N$と互いに素な数の個数だが、それはオイラーのトーティエント関数で与えられ、容易に計算でき、1以外の奇数になることはあり得ないことが示せる。
とするならば、すべての$a\in{(\Z/N\Z)}^\times$に対して対応する$(N-a)=-a\in{(\Z/N\Z)}^\times$が存在することが言える。これらの一方だけが$N$と互いに素でないという状況は起こり得ない。また$a$は偶数個あるので重複することもない。$a$についての和は２つずつの組$\chi(a)h_r({\zeta_N}^a)+\chi(-a)h_r({\zeta_N}^{-a})$の和にすることができる。$\chi(-a)=\chi(-1)\chi(a)$だから、結局これは$\chi(a)\left(h_r({\zeta_N}^a)-{(-1)}^rh_r({\zeta_N}^{-a})\right)$の和ということでもある。
最後に、$h_r(t)$と$h_r(t^{-1})$との関係を調べる。$h_1$については明らかに$h_1(t)=-h_1(t^{-1})$、$h_2$については$h_2(t)=h_2(t^{-1})$であり、一般の$h_r$についても$h_r(t)={(-1)}^rh_r(t^{-1})$であると予想されるがこれも証明はしていない。ともかくこれを仮定すれば、先の組は$\chi(a)\left(h_r({\zeta_N}^a)-{(-1)}^r{(-1)}^rh_r({\zeta_N}^a)\right)$となって打ち消しあって0となる。
こうして同じところに２通りの経路で至ったわけだが、結局ずっと同じ話をしていただけのような気もするし、途中で口調も変わってしまったし、これはなんだったのだろう。ともあれ、こうした計算を進めるのは数学をしている気分が高まって楽しい。
ツイキ：そういえばblogをまたリニューアルしたいなと思いました。mroonga対応もしたいし、カレンダーが縦に長くなりすぎたなという気もするし、それから私的注釈機能もつけたい。次作る時は（技術blogでそうしたように）composerでORMとか入れていい感じにしたい。テンプレートエンジンは使えないけど……（インデントをきちんとしたい）
王貞治のユニフォーム、当然だが「OH」って書いてあるんだな。OHて。水酸化物かよ（そこかよ）。
お昼から仕事。エラーの伝達機構を全部書き直すので一日掛かってしまいました。なので明日も仕事です。くっ……、納まれッ、俺の仕事ッ……！
ゆゆゆの最終話を観ました。えっ、これやるためにあんな道具立てを用意したの？という感じ。だって当然あるべき葛藤はグーパンチで吹き飛んで、支払われるべき代償は有耶無耶に帳消しになって、そんな、そんなことって、だって、まどマギ以降にああいう道具立てでやるってことは当然そういう宣言なんだって思ってたのに、えっ。
このblogのリニューアルプランがまとまりつつあります。レイアウトは基本的には変えないけど、もうちょっと構造化した感じにしたい。特にビューまわり。現在のview.inc.phpはほんとうにおぞましい有様なので、これをちゃんと、構造化したい。クラスとかそういうのを使って（プログラミング苦手っぽい発言）。
仕事が納まりました（こんな時間までかかって）。やったー。
昨日ゆゆゆについてすこし書きましたが、あれは誤りだったかもしれないという気がしてきました。確かに放送を観て僕がまず受けた印象はああいったものだったけれど、そういえば確かに不穏な要素はちりばめられていたよな、と思います。ただそれをどう読んでいいのかよくわからない。
ただ、友奈ちゃんはなにを考えてるのかわからなくて怖いです。なるほど彼女なら、平気な顔して全部背負って「勇者だから」って言うのかもしれません。でもそれが理解できなくて怖い。
blogリニューアル計画はリポジトリを作るところまで進みました。クラスの構成もなんとなく決まってきて、まあCの薄めなMVCになるのかなという感じ。でもいま考えているものがViewの素直なあり方なのか、というとよくわからなくもあり、むしろViewModelなのかな？と思って調べるとそれも違うようであり。まあ、どうでもいいのだけれど。
Swiftのビルドがあんまり遅いので、待っている間に「プログラマのための文字コード技術入門」をちまちま読み進めています。UnicodeとUTF-8のことはすこし知っていたけれど、昔の話とか、JIS Xナントカとかそういう名前のことがやっとわかった。Shift_JISがどうダメだったのか、とかも。あと、半角全角ってもともとは別に文字幅をどうこうする意図で作られた概念ではなく、（というか作られた概念ですらなく、）単に１バイト符号にも２バイト符号にもラテン文字が入ってて併用可能だったという話だったっぽいです（だから本来等価だし、なるたけ統一して使用するようにと決められてもいるようだけど、Unicodeは文字幅の違う別の文字として両方入れてしまったようだ）。それを文字幅に関連づけたのはなんでなのかしら。まあバイト数に対応させるのは不自然とは言わないけれど……。
あ、そういえば¥(U+00A5)と\(U+005C)のこともわかりました（これ、フォントのせいかどちらも円記号に見えるのだけど、￥と＼です）。これは今となっては原理的には解決可能なはずだけど、もう世の中は円記号の意図で書かれたU+005Cだらけになってしまって、どうにもならないのでしょうね。せめてもの抵抗としては、これからは円記号の意味でU+005Cを書かない（たとえフォントの実装上は円記号が出るとしても）という話になるのでしょうか。というかこのフォント（僕はいまメイリオで見ているのだけど）で半角バックスラッシュ出したいときはどうしたらいいんだ。おい。
「文字」という概念もむつかしいのですね。昔の人たちが手探りで作ってきたんだなあという感じがある。僕はコンピュータ世代だから、文字というものはきちんとその集合が定まっているのが自然だと思っているけれど、まあそうではなかった時期がずっと続いていたわけだし。そのあたりの困難は絵文字についても繰り返されているのでしょうね（というかもっとひどそうだ）。
だらだら日記書いてたらセッションが切れた？みたいで全部消えました。やっぱりログイン状態をセッション変数にするの間違ってたんだよなー。早く作り直さねば。
夕方に起きて二時間ほど仕事をしました。えっ納まったはずでは。まあ僕が作ったところのバグだしねーという感じ。やれやれ。
それから駅まで行ってこないだ予約した新幹線の切符を受けとりました。ついでに電器屋に行ってiMac Retinaを見ました。綺麗。綺麗と呼ぶ必要がないくらい（現実を綺麗とは呼ばないのと同じように）。
年が明けたら買っちゃおうかなーと思います。金銭的に躊躇するふりするのも疲れちゃったし（しかしそういう消費活動が社会常識から逸脱しているのでは？という躊躇はまだ残っている）。お金はスコアじゃなくて使うものなんだぜ。でも会社の人にバレるとろくなことがなさそうなので内緒にしましょう（彼らは僕の家賃が高いのをいまだにネタにしてくる）。
さて、明日は実家に帰るので、あんまり夜更かしはできませんが、今夜はすこしblog作成しようかな。あ、でも昨日も一昨日も数学してないや、ふーむ。
0123。
昨晩はmacbookにXAMPPをインストールしたり開発環境を整えたりしているうちに遅くなってしまってあまりコードを書けませんでした。おおまかな構想は立ったのですこしコードは書いたけれど。Controllerはこういう感じでいいのよね、と思ってみてよくわかりません。そういえば、今回はHTML5を使うのかしら。wtbmで使ったし今回も使ってもいいのかも。CSS3の表現力は気になっているしね。
お昼に起きて実家に戻りました。新幹線の中で数学の勉強がまあまあ捗りました。
有限群$G$から$\C^\times$への群準同型$\chi:G\longrightarrow\C^\times$について、$\chi$の像が$\{1\}$でないならば
\[
\sum_{a\in G}\chi(a)=0
\]
である。
なぜならば、ある$b$があって$\chi(b)\neq 1$とするとき、$H=\{e, b, b^2, b^3, \dots\}$は$G$の部分群であり、しかも$\chi(b^i)$は1の$N$乗根それぞれであるから$\sum_{a\in H}\chi(a)=0$。あとは、$G$の元のそれぞれが$H$による剰余類$cH$に属することから、
\[
\begin{align}
\sum_{a\in G}\chi(a)&=\sum_{c}\sum_{d\in cH}\chi(d)\\
&=\sum_{c}\sum_{f\in H}\chi(cf)\\
&=\sum_{c}\chi(c)\sum_{f}\chi(f)\\
&=\sum_{c}\chi(c)\cdot 0
\end{align}
\]
となり、ゆえに0となる。
ウィトゲンシュタインがその著述スタイルについて言及しているのを目にするたびに「わかる〜」と言いたくなる。彼もまた、きちんとした構成を持った長い文章を書くのを苦手としていたように見え、実際に彼の著書は箇条書きや断章の連続という体裁をなしている。彼がその種ではない文章を書くのを、ただ彼に向いていないと考えていただけであることは諒解しているけれど、僕はそこに多少の共感、あるいは類似性を見いだしてしまう。（僕が長文を書けないことを「ウィトゲンシュタイン・スタイル」と呼んでみたり、というあからさまの冗談をここで表明したとしても、僕がそれを避けることはできないだろう）
後期の彼の主張についてすこし読んでいます。彼が（特に「論考」に対して）批判しているのは、言語活動の「本質」が「各人の中にある心的活動」に求められる、という図式らしい。それはまあ、ラッセルがああいうことを言いたくなる気持ちはわかる。哲学をなにか重要な真実を暴き出す営みであるととらえる限り、ウィトゲンシュタインがそれを否定したことは後退にしか思われないだろうから（そしてそれをいま読んでいる僕もこれからどうなってしまうんだと手に汗握っている）。
言語的行為のいっさいの背後にある「本質的な」心的過程、というのは、そもそもの図式が間違っている、あるいは誘惑に負けた結果現れたものである、という話なんだと思う。そういう誘惑に負けると、なにかの気持ちを表現する言葉の背後には対応する心的状態がある、という誤解が生じ、それは自分の心の中にだけある、「『この』気持ち」（が存在するのだ）なのだ、という誤解へと繋がる、という話なのだろう。なるほど、私的言語を批判しようという流れがすこし見えてきた気がする。
夜はかに鍋を食べました。イージーモードのかにだったので簡単に食べられてよかった。
それから母にiPadの使いかたを指南しました。カメラで撮った写真をiPadに転送して絵を描く資料にしたい、とのことだったのだけど、カメラの無線LANモジュールがあまり安定しないようだったのでパソコンを経由する手法を明日考えることになりました。まあ、僕なんかはなんだかんだでそういう母艦がある運用のほうが心持ち安心します。僕もこうしてobsoleteになってゆくのか。
あと、母が３年くらい前から僕のTwitterアカウントを認識しているという非常に厳しい事実が明るみに出たので非常につらい気分です。いや、まあ、親に見られて致命的にまずいようなことは書いてないと思うけれど、なんというか、３年間それを黙っていて、この３年間僕の前に現れたあなたはWeb上での僕を知っているあなただった、ということを僕だけが知らなかったのですね、というところがちょっとつらい。そういうの、別に隠すつもりはないんだけど教えてほしかったな、というような。いや、まあ、でも向こうも悩ましいところではあったのだろうけど（偶発的に発見したようだったし）。ううむ。
まあ、３年も見られていた（あるいはべつに見られてなかった）なら今更なにか変えることもないでしょうし、別に気にすることもないのだけれど。
さて、明日は多少blogの改修を試みたい。基本的なルーティング機構を設計しようかな。そんな時間がどこから出てくるのかは謎ですが。あーでも実家にいるからにはお昼には起こされるのかな……